Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Xét hàm số $Q(\mathrm{t})=-\frac{1}{5} t^3+5 t^2+100$ với $t \in[0 ; 20]$.
Ta có $Q^{\prime}(\mathrm{t})=-\frac{3}{5} t^2+10 t ;$
$\mathrm{Q}^{\prime}(\mathrm{t})=0 \Leftrightarrow-\frac{3}{5} t^2+10 t=0 \Leftrightarrow t=\frac{50}{3}$ hoặc $\mathrm{t}=0$.
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $[0 ; 20]$ như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra $\max _{[0 ; 20]} \mathrm{Q}(\mathrm{t})=\frac{15200}{27}$ tại $t=\frac{50}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là $\frac{15200}{27} \mathrm{~m}^3 /$ phút tại thời điểm $t=\frac{50}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến $550 \mathrm{~m}^3 /$ phút, tức là $Q(t) \geq 550 \Leftrightarrow$ $-\frac{1}{5} t^3+5 t^2+100 \geq 550 \Leftrightarrow-\frac{1}{5} t^3+5 t^2+450 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\mathrm{t} \leq 5-5 \sqrt{7} \\ 15 \leq \mathrm{t} \leq 5+5 \sqrt{7}\end{array}\right.$.

Lại có $t \in[0 ; 20]$ nên $15 \leq t \leq 5+5 \sqrt{7}$.
Vậy tại thời điểm $t \in[15 ; 5+5 \sqrt{7}]$ phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

-Tập xác định: \(\mathbb{R}\)

-Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  - \infty \)     

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y{\rm{'}} = 2x - 2\)

\(y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên

Vẽ đồ thị hàm số

1) Tập xác định: $\mathbb{R} \backslash\{-1\}$.
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
$\lim _{x \rightarrow-1^{-}} y=+\infty, \quad \lim _{x \rightarrow-1^{+}} y=-\infty$. Do đó, đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{y}=1, \lim _{x \rightarrow-\infty}=1$. Do đó, đường thẳng $\mathrm{y}=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\cdot y^{\prime}=\frac{2}{(x+1)^2}>0$, với mọi $x \neq-1$
- Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1 ;+\infty)$.
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; - 1).
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $(1 ; 0)$.
$\cdot$ Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0 ;-1),(1 ; 0),(-2 ; 3)$ và $(-3 ; 2)$.
$\cdot$ Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(-1 ; 1)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  được cho ở hình trên.

+, Tập xác định : R

+,Xét sự biến thiên

Giới hạn vô cực:\(\mathop {\lim {\rm{y}}}\limits_{x \to  + \infty }  =  + \infty \) ,    \(\mathop {\lim {\rm{y}}}\limits_{x \to  - \infty }  =  - \infty \)

\(y' = 3{x^2} - 3\)

y’ = 0 <=> x = 1 hoặc x = -1

Hàm số có khoảng đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Hàm số đại cực đại tại \(x =  - 1,\;{y_{cd}} = 1\), hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y = -3

=> Chọn B