Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a) \(\frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 5 .\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{2} = \sqrt {10} \)

b) \(\frac{{10}}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{10.\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{10\sqrt 5 }}{{15}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\)

c) \( - \frac{3\sqrt a }{\sqrt {12a}}\) \( = - \frac{3\sqrt a .\sqrt {12a}}{\sqrt {12a} .\sqrt {12a}} \) \(= - \frac{3\sqrt {2^2.3.a^2}}{12a} \) \(= -\frac{6a\sqrt {3}}{12a} \) \(= -\frac{\sqrt {3}}{2} \) với a > 0

a) \(\sqrt {\frac{4}{7}}  = \sqrt {\frac{{4.7}}{{7.7}}}  = \frac{{\sqrt {28} }}{7} = \frac{{\sqrt {2^2.7} }}{7} = \frac{{2\sqrt {7} }}{7}\)

b) \(\sqrt {\frac{5}{{24}}}  = \sqrt {\frac{{5.24}}{{24.24}}}  = \frac{{\sqrt {120} }}{{24}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{24}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{12}}\)

c) \(\sqrt {\frac{2}{{3{a^3}}}} = \sqrt {\frac{2}{a^2.3a}} = \sqrt {\frac{1}{a^2}.\frac{2}{3a}} = \left|{\frac{1}{a}}\right| .\sqrt {\frac{2}{3a}}\)

Với a > 0, ta có:
\(\sqrt {\frac{2}{{3{a^3}}}} = {\frac{1}{a}}.\sqrt {\frac{2}{3a}} = {\frac{1}{a}}.\sqrt {\frac{2.3a}{3a.3a}}= \frac{1}{a}.\sqrt {\frac{6a}{9a^2}}\\= {\frac{1}{a}}. \frac{\sqrt{6a}}{3a} = \frac{\sqrt{6a}}{3a^2}\)

d) \(2ab\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2b}}}  = 2ab\sqrt {\frac{{{a^2}.2b}}{{2b.2b}}}  = 2ab\frac{{\sqrt {2b} \left| a \right|}}{{2\left| b \right|}} =  - {a^2}\sqrt {2b} \) với a < 0, b > 0

a) Xét tam giác vuông AMI có AI = \(\sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)cm

Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng \(2\sqrt 2 \) cm

Xét tam giác vuông IFC có IC = \(\sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \)cm

Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng \(3\sqrt 2 \) cm.

b) Cách 1:

Ta có: độ dài đường chéo ABCD = độ dài đường chéo AMNI + độ dài đường chéo IFCE = \(2\sqrt 2 \) + \(3\sqrt 2 \) = \(5\sqrt 2 \) cm.

Cách 2:

Độ dài cạnh AB là : 2 + 3 = 5 cm

Độ dài cạnh BC là : 2 + 3 = 5 cm

Xét tam giác vuông ABC có: AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{5^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 \) cm.

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là \(5\sqrt 2 \) cm.

Cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: \(\sqrt {1800}  = 30\sqrt 2 \)m.

Chu vi thửa ruộng bé là: \(30\sqrt 2 .4 = 120\sqrt 2 \)m

Cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: \(\sqrt {3200}  = 40\sqrt 2 \) m

Cạnh của tam giác vuông là: \(\sqrt {{{(30\sqrt 2 )}^2} + {{(40\sqrt 2 )}^2}}  = 50\sqrt 2 \) m

Chu vi tam giác vuông là: \(30\sqrt 2  + 40\sqrt 2  + 50\sqrt 2  = 120\sqrt 2 \) m.

Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.

a) \(\sqrt {20}  - \sqrt 5  = \sqrt {{2^2}.5}  - \sqrt 5  = 2\sqrt 5  - \sqrt 5  = \sqrt 5 \)

b) \(\sqrt {32}  - \sqrt {18}  + \frac{4}{{\sqrt 2 }}\)\( = \sqrt {16.2}  - \sqrt {9.2}  + \frac{4\sqrt 2}{{2 }}\)\( = 4\sqrt 2  - 3\sqrt 2  + 2\sqrt 2\)\( = 3\sqrt 2\)

c) \(\left( {2 - \sqrt {10} } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)\)\( = 2\sqrt 2 - 2\sqrt 5  - \sqrt {10}.\sqrt 2  + \sqrt {10} .\sqrt 5 \)\( = 2\sqrt 2 - 2\sqrt 5  - \sqrt {20} + \sqrt {50}\)\( = 2\sqrt 2 - 2\sqrt 5  - 2\sqrt 5 + 5\sqrt 2\)\( = \left(2\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \right) - \left(2\sqrt 5  + 2\sqrt 5\right)\)\( = 7\sqrt 2 - 4\sqrt 5\) 

Ta có diện tích hình chữ nhật là: \(\sqrt {12} .\sqrt {18}  = \sqrt {12.18}  = \sqrt {216}  = 6\sqrt 6 \)

Ta có diện tích hình thang bằng diện tích hình chữ nhật là: \(6\sqrt 6 \)

Mà diện tích hình thang là: \(\frac{1}{2}(\sqrt {12}  + \sqrt {24} ).h\) = \(6\sqrt 6 \)

Suy ra h = \(\frac{{2.6\sqrt 6 }}{{(\sqrt {12}  + \sqrt {24} )}} = 12 - 6\sqrt 2 \)

a) \(\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{3}\)

b) \( - \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }} =  - \frac{{10.\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 .\sqrt 5 }} =  - \frac{{10\sqrt 5 }}{{15}}\)

c) \(\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }} = \frac{{2\sqrt 2 .\sqrt {40} }}{{\sqrt {40} .\sqrt {40} }} = \frac{{8\sqrt 5 }}{{40}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 2 }}\) \( = \frac{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)}{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right).\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)}\) \( = \frac{\sqrt 2 .\sqrt 5  + \sqrt 2.\sqrt 2 }{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2 - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}}\) \( = \frac{{\sqrt 10  + 2 }}{{5 - 2}}\) \( = \frac{{\sqrt 10  + 2}}{3}\)

a) Diện tích một hình vuông: S = \(\frac{1}{2}\) (m²) 

Mà S = a²  suy ra a  = \(\sqrt S  = \sqrt {\frac{1}{2}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (m)

Vậy kết quả của 2 bạn đều đúng.

b) Theo em, bạn Mai sẽ tìm đáp án nhanh hơn.

Vì phép tính \(1,4142 : 2 \) có số chia là số nguyên nên thực hiện phép chia sẽ dễ hơn phép tính \(1:1,4142\) có số chia là số thập phân

a) \(\sqrt {\frac{{11}}{6}}  = \sqrt {\frac{{11.6}}{{6.6}}}  = \frac{{\sqrt {66} }}{{\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{6}\)

b) \(a\sqrt {\frac{2}{{5a}}}  = a.\sqrt {\frac{{2.5a}}{{5a.5a}}}  = a.\frac{{\sqrt {10a} }}{{\sqrt {{{(5a)}^2}} }} = a.\frac{{\sqrt {10a} }}{{5\left| a \right|}}\)

Vì a > 0 nên \(a.\sqrt {\frac{2}{{5a}}}  = a.\frac{{\sqrt {10a} }}{{5a}} = \frac{{\sqrt {10a} }}{{5}}\)

c) \(4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}}  = 4x\sqrt {\frac{{3.4xy}}{{4xy.4xy}}}  = 4x\frac{{\sqrt {12xy} }}{{\sqrt {{{\left( {4xy} \right)}^2}} }} = \frac{{8x\sqrt {3xy} }}{{\left| {4xy} \right|}}\)

Vì x > 0; y > 0 nên \(4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}} = \frac{{8x\sqrt {3xy} }}{4xy} = \frac{{2\sqrt {3xy} }}{y}\)

a) \(\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}}  + 4x\sqrt {\frac{x}{4}}  - {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}} \)

\(\begin{array}{l} = \frac{2}{3}.3\sqrt {{x^2}.x}  + 4x.\frac{1}{2}\sqrt x  - \sqrt {{x^4}\frac{1}{x}} \\ = 2x\sqrt x  + 2x\sqrt x  - \sqrt {{x^3}} \\ = 4x\sqrt x  - x\sqrt x \\ = 3x\sqrt x \end{array}\)

b) \(\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }}\) với a \( \ne  - \sqrt 5 \)

\(\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {a + \sqrt 5 } \right)\left( {a - \sqrt 5 } \right)}}{{a + \sqrt 5 }} = a - \sqrt 5 \)