Bài 3. Tiếp tuyến của đường tròn

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

– Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

– Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

a) \(OH = R\).

b) Điểm \(H\) có thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

c) Điểm \(H\) là tiếp điểm của đường thẳng \(a\) và đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

d) Đường thẳng \(a\) có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Vì đường thẳng \(AB\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) nên \(OC \bot AB\). Suy ra tam giác \(OBC\) vuông tại \(C\), tam giác \(OAC\) vuông tại C.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(OAC\) vuông tại \(C\), ta có:

\(O{A^2} = O{C^2} + A{C^2} \Rightarrow O{C^2} = O{A^2} - A{C^2}\,\,\left( 1 \right)\).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(OBC\) vuông tại \(C\), ta có:

\(O{B^2} = O{C^2} + B{C^2} \Rightarrow O{C^2} = O{B^2} - B{C^2}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(O{A^2} - A{C^2} = O{B^2} - B{C^2} \Rightarrow O{A^2} + B{C^2} = O{B^2} + A{C^2}\).

a) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(a\) là đoạn \(OH\).

Do điểm \(H\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) nên \(OH = R\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(a\) bằng bán kính \(R\).

b) Xét tam giác \(OHN\) vuông tại \(H\) có: \(ON\) là cạnh huyền, \(OH\) là cạnh góc vuông.

Suy ra \(ON > OH\), lại có \(OH = R\). Vậy \(ON > R\).

Điểm \(N\) không thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

c) Đường thẳng \(a\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

Vì (O;R) và (O'R') tiếp xúc ngoài nhau tại I nên O, I, O' thẳng hàng và I nằm giữa O và O'.

Do \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm \(I\) nên \(OI \bot d\) hay  \(O'I \bot d\).

Mà \(I \in \left( {O'} \right),I \in d\) nên \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'R'} \right)\).

Do \(OA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(O'A \bot OA\). Vậy \(\widehat {OAO'} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(OAO'\) và tam giác \(OBO'\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}O'A = O'B\\OO'\,\,chung\\OA = OB\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OAO' = \Delta OBO'\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \widehat {OAO'} = \widehat {OBO'}\end{array}\).

Mà \(\widehat {OAO'} = 90^\circ \) nên \(\widehat {OBO'} = 90^\circ \) hay \(OB \bot O'B\).

Vậy đường thẳng \(O'B\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

a) Do \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(MA \bot AO\) suy ra \(\widehat {MAO} = 90^\circ \).

Do \(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(MB \bot BO\) suy ra \(\widehat {MBO} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(MOA\)và tam giác \(MOB\) có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

\(OA = OB = R\)

\(OM\) chung

\( \Rightarrow \Delta MOA = \Delta MOB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Do \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên \(MA = MB\) (2 cạnh tương ứng).

c) Do \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\) (2 góc tương ứng) suy ra \(MO\) là tia phân giác của góc \(AMB\).

d) Do \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB}\) (2 góc tương ứng) suy ra \(OM\) là tia phân giác của góc \(AOB\).

Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(AMO\) vuông tại \(A\) có:

\(\widehat {AMO} + \widehat {MOA} = 90 \\60^\circ  + \widehat {MOA} = 90^\circ \\ \widehat {MOA} = 30^\circ \)

Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên OM là tia phân giác của góc AOB, suy ra \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.30^\circ  = 60^\circ \).

Xét tam giác \(AOB\) có: \(OA = OB = R\) nên tam giác \(AOB\) cân tại \(O\).

Lại có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) suy ra tam giác \(AOB\) là tam giác đều.

Vậy \(AO = OB = AB = R\).

Do \(Ma\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(Ma \bot OM\) hay \(Ma \bot MN\).

Do \(Nb\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(Nb \bot ON\) hay \(Nb \bot MN\).

Từ đó suy ra \(Ma//Nb\) (quan hệ từ vuông góc tới song song).

Ta có: \(OA = OB = R\) nên tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\).

Xét tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {OAB} + \widehat {OBA} + \widehat {AOB} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {OAB} + \widehat {OAB} + \widehat {AOB} = 180^\circ \\ \Rightarrow 2\widehat {OAB} = 180^\circ  - \widehat {AOB} \Rightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ  - \frac{1}{2}\widehat {AOB}.\end{array}\)

Ta có: \(\widehat {OAM} = \widehat {OAB} + \widehat {BAM} = 90^\circ  - \frac{1}{2}\widehat {AOB} + \frac{1}{2}\widehat {AOB} = 90^\circ .\)

Suy ra \(OA \bot AM\). Vậy \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).