Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Trung bình, mỗi bạn ở Tổ 1 được: \(\frac{{6 + 10 + 6 + 8 + 7 + 10}}{6} \approx 7,83\)

Trung bình, mỗi bạn ở Tổ 2 được: \(\frac{{10 + 6 + 9 + 9 + 8 + 9}}{6} = 8,5 > 7,83\)

Vậy tổ 2 có kết quả kiểm tra tốt hơn

Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm A là:

\(\frac{{12,2 + 13,5 + 12,7 + 13,1 + 12,5 + 12,9 + 13,2 + 12,8}}{8} \approx 12,65\)

Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm B là:

\(\frac{{12,1 + 13,4 + 13,2 + 12,9 + 13,7}}{5} = 13,06\)

Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.

Số bàn thắng ghi được trong mùa giải đó là:

\(0.5 + 1.10 + 2.5 + 3.3 + 4.2 + 6.1 = 43\) (bàn thắng)

Số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu là:

\(\frac{{43}}{{5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1}} \approx 1,65\)

Vậy trung bình một trận đội đó ghi được 1,65 bàn thắng.

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc:

\(\frac{{3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1}}{9} \approx 4,44\) (quyển sách)

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc:

\(\frac{{4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4}}{8} = 4\) (quyển sách)

b) Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25

Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = 2.\)

Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5.

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}(4 + 4) = 4.\)

Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.

Vận dụng 1:

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm A theo thứ tự không giảm ta được dãy:

\(12,2;\;\,12,5;\;\,12,7;\;\,12,8;\;\,12,9;\;\,13,1;\;\,13,2;\;\,13,5\)

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}(12,8 + 12,9) = 12,85.\)

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm B theo thứ tự không giảm ta được dãy:

\(12,1;\;\,\,12,9;\;\,13,2;\;\,13,4;\;\,13,7\)

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là \({M_e} = 13,2.\)

Vận dụng 2:

Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:

\(0;\;\,0;\;\,0;\;\,0;\;\,0;\;\underbrace {\,1;\;...;\;\,1}_{10\;so\;1};\;\,2;\,\;2;\,\;2;\,\;2;\,\;2;\,\;3;\;3;\;3;\;4;\;4;\;6.\)

Vì cỡ mẫu bằng \(5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26\) nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1.\)

Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+) Vì cỡ mẫu \(n = 20\), là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {58 + 59} \right) = 58,5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.

Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}(54 + 56) = 55\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(64 + 65) = 64,5\)

Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: 55kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là \(n = 9\), là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = 10\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7.

Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}(2 + 5) = 3,5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19.

Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(13 + 15) = 14\)

b) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là \(n = 10\), là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}(9 + 10) = 9,5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9.

Do đó \({Q_1} = 5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19.

Do đó \({Q_3} = 15\)

Dễ thấy: Hoa hồng nhung là loại hoa bán được nhiều nhất trong dịp năm nay, do đó cửa hàng nên nhập loại hoa này nhiều nhất để bán vào dịp 14 tháng 2 năm sau.

Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10

Số điểm 6 là 2, bằng số điểm 10 và nhiều hơn số điểm 7, điểm 8. Do đó mẫu số liệu trên có \({M_o} = 6,{M_o} = 10.\)

a)

+) Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{23.6 + 25.8 + 28.10 + 31.6 + 33.4 + 37.3}}{{6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3}} \approx 28,3\)

+) Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm,

\(\underbrace {23,...,23}_6,\underbrace {25,...25}_8,\underbrace {28,...,28}_{10},\underbrace {31,...,31}_6,\underbrace {33,...,33}_4,37,37,37\)

Bước 2: \(n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37\), là số lẻ \( \Rightarrow {Q_2} = {X_{19}} = 28\)

\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái \({Q_2}\): \(\underbrace {23,...,23}_6,\underbrace {25,...25}_8,\underbrace {28,...,28}_4\)

Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}({X_9} + {X_{10}}) = \frac{1}{2}(25 + 25) = 25\)

\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải \({Q_2}\)

\(\underbrace {28,...,28}_5,\underbrace {31,...,31}_6,\underbrace {33,...,33}_4,37,37,37\)

Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}({X_9} + {X_{10}}) = \frac{1}{2}(31 + 31) = 31\)

+) Mốt \({M_o} = 28\)

b) Giả sử cỡ mẫu \(n = 10\)

Khi đó ta có bảng số liệu như sau:

+) Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{0.0,6 + 2.0,2 + 4.0,1 + 5.0,1}}{{0,6 + 0,2 + 0,1 + 0,1}} = 1,3\)

+) Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm \(0,0,0,0,0,0,2,2,4,5\)

Bước 2: \(n = 10\), là số chẵn \( \Rightarrow {Q_2} = \frac{1}{2}(0 + 0) = 0\)

\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu: \(0,0,0,0,0\). Do đó \({Q_1} = 0\)

\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu: \(0,2,2,4,5\). Do đó \({Q_3} = 2\)

+) Mốt \({M_o} = 0\)