Bài 2: Tích phân

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x^2} - 1} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_{ - 2}^4 = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - 4} \right) - \left( {\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} - \left( { - 2} \right)} \right) = 18\)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2} \)

\( = \left( {\frac{{2{\rm{^2}}}}{2} - 2.2 + \ln \left| 2 \right|} \right) - \left( {\frac{{1{\rm{^2}}}}{2} - 1.2 + \ln \left| 1 \right|} \right) = \ln 2 - \frac{1}{2}\)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx}  = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}  - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx}  = 3\left. {\left( { - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\( = 3\left[ {\left( { - \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - \cos 0} \right)} \right] - 2\left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) = 3 - \pi \)

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{1 + \cos x}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} } \)

\( = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \left( {\frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 - \sin 0} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\)

Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\), nên \(T\left( 6 \right) = 150\).

Nhiệt độ mặt ngoài của ống là \(T\left( 8 \right) = \left[ {T\left( 8 \right) - T\left( 6 \right)} \right] + T\left( 6 \right) = \int\limits_6^8 {T'\left( x \right)dx}  + T\left( 6 \right)\).

Ta có \(\int\limits_6^8 {T'\left( x \right)dx}  = \int\limits_6^8 { - \frac{{30}}{x}dx}  =  - 30\int\limits_6^8 {\frac{1}{x}dx =  - 30.\left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_6^8 =  - 30\ln 8 + 30\ln 6} \).

Vậy nhiệt độ bên ngoài mặt ống là \(T\left( 8 \right) =  - 30\ln 8 + 30\ln 6 + 150 \approx 141,{37^o}C\)

a) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {2x + 2} \right|dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} { - \left( {2x + 2} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x + 2} \right)dx} \)

\( =  - \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 =  - \left[ {\left( { - 1} \right) - 0} \right] + \left[ {3 - \left( { - 1} \right)} \right] = 5\)

b) \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  + \int\limits_2^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {4x - \frac{{x{\rm{\^3}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{x{\rm{\^3}}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^4 = \left( {\frac{{16}}{3} - 0} \right) + \left[ {\frac{{16}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right)} \right] = 16\)

c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\left| {\sin x} \right|dx}  + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\left( { - \sin x} \right)dx}  + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)

\( =  - \left. {\left( { - \cos x} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^0 + \left. {\left( { - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} =  - \left[ { - 1 - 0} \right] + \left[ {0 - \left( { - 1} \right)} \right] = 2\)

Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường thang máy di chuyển được đến thời gian \(t\) (giây).

Quãng đường thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất là \(s = s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt}  + \int\limits_2^{20} {v\left( t \right)dt}  + \int\limits_{20}^{24} {v\left( t \right)dt} \)

\( = \int\limits_0^2 {tdt}  + \int\limits_2^{20} {2dt}  + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0,5t} \right)dt}  = \left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + 2\left. {\left( t \right)} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{{0,5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_{20}^{24}\)

\( = \left( {2 - 0} \right) + 2\left( {20 - 2} \right) + \left( {144 - 140} \right) = 42{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Vận tốc trung bình của thang máy là \({v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{{42}}{{24}} = 1,75\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)

a) Gọi các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là các đỉnh của hình thang như hình vẽ. Dễ thấy rằng \(ABCD\) là hình thang vuông có hai đáy là \(AD\) và \(BC\), chiều cao là \(AB\).

Ta có \(AB = 3 - 1 = 2\), \(AD = 2\) và \(BC = 4\). Do đó diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(S\left( 3 \right) = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6\).

b) Tương tự câu a, nhưng hoành độ của \(B\) là \(x\), ta suy ra tung độ của \(C\) là \(x + 1\).

Ta có \(AB = x - 1\), \(AD = 2\), \(BC = x + 1\). Do đó diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}\)

c) Ta có \(S'\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{2} = x + 1 = f\left( x \right)\). Vậy \(S\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

d) Do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta có:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + 1} \right)dx}  = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

Suy ra \(F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{{15}}{2} + C\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C\)

Như vậy ta có \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \left( {\frac{{15}}{2} + C} \right) - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)\).

Do đó, để tính \(S\left( 3 \right)\) khi biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta thực hiện tính nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\), sau đó ta tính \(F\left( 3 \right)\) và \(F\left( 1 \right)\), từ đó tính được \(S\left( 3 \right) = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\).

Ta có hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^x}\) liên tục và dương trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\), từ đó suy ra \(F\left( x \right) = {e^x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {e^x}\).

Diện tích hình thang cong cần tính là: \(S = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = {e^1} - {e^0} = e - 1\).

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x - 1} \right)dx}  = {x^2} - x + C\)

Chọn \(F\left( x \right) = {x^2} - x\) và \(G\left( x \right) = {x^2} - x + 1\).

Ta có

\(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3} \right) - \left( {{0^2} - 0} \right) = 6\)

\(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3 + 1} \right) - \left( {{0^2} - 0 + 1} \right) = 6\)

Như vậy \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\).

a) \(\int\limits_1^3 {2xdx}  = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = {3^2} - {1^2} = 8\)

b) \(\int\limits_0^\pi  {\sin tdt}  = \left. {\left( { - \cos t} \right)} \right|_0^\pi  = \left( { - \cos \pi } \right) - \left( { - \cos 0} \right) = 2\)

c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du}  = \left. {{e^u}} \right|_0^2 = {e^2} - {e^0} = {e^2} - 1\)

a) Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường ô tô đi được sau \(t\) giây.

Ta có \(s\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\).

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là

\(s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^5\)

\( = \left( {{5^2} - 0,{{01.5}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 23,75\)

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là

\(s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10}\)

\( = \left( {{{10}^2} - 0,{{01.10}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 90\)

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 10\) là:

\({v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{{90}}{{10}} = 9\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)