Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

a)  \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}\) suy ra b = a.sin B

\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{c}{a}\) suy ra c = a.cos B

b) \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\) suy ra b = c.tan B

\(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\) suy ra c = b.cot B.

a) Với \(\widehat B = {36^o}\), cạnh góc vuông AB có góc kề bằng \({36^o}\) nên ta có:

AB =  cos\({36^o}.BC \approx 16,18cm\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  \approx \sqrt {{{20}^2} - 16,{{18}^2}}  \approx 11,76cm\)

b) Với \(\widehat C = {41^o}\), cạnh góc vuông AB có góc đối bằng \({41^o}\) nên ta có:

AB =  sin\(\widehat C.BC \approx 13,12cm\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  \approx \sqrt {{{20}^2} - 13,{{12}^2}}  \approx 15,1cm\)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A. \(\widehat B = {32^o}\), ta có:

x = AB = AC. cot \({32^o}\) = 9. cot\({32^o}\)\( \approx \) 14,4

b) Xét tam giác DEF vuông tại F. \(\widehat E = {48^o}\), ta có:

x = DF = EF. tan \({48^o}\) = 5. tan \({48^o}\)\( \approx \) 5,55

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác \(ABC\) tại \(A\) có:
           \(sin42^o=\dfrac{BC}{AB}\) \(\Rightarrow BC=sin42^o.AB\)
                                    \(\Rightarrow BC=sin42^o.16\)
                                    \(\Rightarrow BC\approx10,7\left(m\right)\)
Vậy chiều dài \(BC\) của đoạn dây cáp là \(10,7m\)
 

Ta có thể tính được tất cả các cạnh và các góc của tam giác trong:

+ Trường hợp 1 vì chỉ cần biết hai cạnh của tam giác vuông ta sẽ tìm được cạnh còn lại và các góc từ tỉ số lượng giác.

+ Trường hợp 3 vì chỉ cần biết một cạnh và 1 góc của tam giác vuông ta sẽ tìm được cạnh còn lại và các góc từ tỉ số lượng giác

Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có

AH = tan 42\(^o\). OH = tan 42\(^o\). 4 \( \approx \) 3,6 (m)

Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có

HB = tan 28\(^o\). OH = tan 28\(^o\). 4 \( \approx \) 2,1 (m)

Vậy chiều cao AB của cây là: AH + HB = 3,6 + 2,1 = 5,7 (m)

Xét tam giác ABC vuông tại B, \(\widehat {BAC} = {68^o}\), ta có:

AB = AC .cos\(\widehat {BAC}\)  =  16.cos\({68^o} \approx 6 cm\)

BC = AC. sin\(\widehat {BAC}\) = 16. sin\({68^o} \approx 14,8 cm\)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có \(AB = CD \approx 6 cm\) và \(BC = AD \approx 14,8 cm\).

a) Gọi BD là đường cao hạ từ B xuống AC.

Xét tam giác BDC, \(\widehat {ACB} = {30^o}\) ta có:

\(BD = \sin \widehat {ACB}.BC = \sin {30^o}.20 = 10cm\)

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC chính là BD = 10 cm.

b) Xét tam giác ABC, ta có:

\(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {ACB} - \widehat {ABC} = {180^o} - {30^o} - {22^o} = {128^o}\)

Xét tam giác ABD vuông tại D, \(\widehat {CAB} = {128^o}\) nên \(\widehat {DAB} = {180^o - 128^o = 52^o}\), ta có:

\(AB = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {DAB}}} \approx 12,7\)cm

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

\(AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}}  = \sqrt {{{12.7}^2} - {{10}^2}}  \approx 7,8cm\)

Xét tam giác BCD vuông tại D, \(\widehat {ACB} = {30^o}\) ta có:

\(CD = \frac{{BD}}{{\tan \widehat {ACB}}} \approx 17,3\)cm

Suy ra \(AC = CD - AD \approx 17,3 - 7,8 = 9,5 cm\).

c) Gọi AE là đường cao hạ từ A xuống BC.

Xét tam giác ACE vuông tại E, \(\widehat {ACB} = {30^o}\), ta có:

\(AE =  AC.sin\widehat {ACB} = 9,5.sin 30^o \approx 4,8 cm.\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC khoảng 4,8 cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ACB} = {35^o}\), ta có:

AB = sin \(\widehat {ACB}\).AC = \(sin{35^o}. 4 \approx 2,3\) m

Vậy độ cao của vật so với mặt đất khoảng 2,3 m.

a) Đặt AH = x (m) (0 < x < 762)

Suy ra BH = 762 – x (m). Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

 h = x. tan \({6^o}\) và h = (762 – x). tan \({4^o}\)

Suy ra x. tan \({6^o}\)= (762 – x). tan \({4^o}\)

x.( tan \({6^o}\)+ tan \({4^o}\)) =762. tan \({4^o}\)

x = \(\frac{{762.\tan {4^o}}}{{\tan {6^o} + \tan {4^o}}}\)

Vậy h = \(\frac{{762.\tan {4^o}}}{{\tan {6^o} + \tan {4^o}}}\). tan \({6^o}\)\( \approx \) 32 m.

b) Xét tam giác AHC vuông tại H, \(\widehat A = {6^o}\), ta có:

\(AC = \frac{h}{{\sin A}} = \frac{{32}}{{\sin {6^o}}} \approx 306m\) = 0,306 km

Xét tam giác BHC vuông tại H, \(\widehat B = {4^o}\), ta có:

\(CB = \frac{h}{{\sin B}} = \frac{{32}}{{\sin {4^o}}} \approx 459m\) = 0,459 km

Thời gian An đi từ nhà tới trường là:

\(t = \frac{{AC}}{4} + \frac{{BC}}{{19}} = \frac{{0,306}}{4} + \frac{{0,459}}{{19}} \approx 0,1\) (h) = 6 phút.

Vậy An đến trường khoảng 6 giờ 6 phút.