Bài 13. Mở đầu về đường tròn

Gấp đôi hình tròn sao cho mép giấy của chúng đè khít lên nhau, ta miết phần ngăn cách hai nửa hình tròn ta được một đường kính.

Tiếp theo ta mở tờ giấy và gấp theo hướng khác và các mép giấy của hình tròn cũng đè khít lên nhau. Từ đó, xác định được đường kính mới.

Hai đường kính này cắt nhau tại một điểm chính là tâm của hình tròn.

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(OA = \frac{{BC}}{2} = OB = OC\).

Suy ra A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính OB.

Tâm O là trung điểm của BC nên BC là đường kính.

Vậy A thuộc đường tròn đường kính BC.

Ta có: OA = 3 nên điểm A nằm trên đường tròn (O; 3).

OB = 2 < 3 nên điểm B nằm trong đường tròn (O; 3).

OC = 4 > 3 nên điểm C nằm ngoài đường tròn (O; 3).

Vậy trong các điểm đã cho, điểm A nằm trên, điểm B nằm trong, điểm C nằm ngoài đường tròn (O; 3).

a) Lấy điểm A bất kì thuộc (O).

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O.

Khi đó: O là trung điểm của AA' hay OA = OA' = R.

Suy ra A' cũng thuộc đường tròn (O).

b) Lấy điểm M bất kì thuộc (O).

Gọi M' là điểm đối xứng với M qua d.

Gọi I là giao điểm của d với MM'.

Khi đó: MM' ⊥ OI tại M hay \(\widehat{OIM}=\widehat{OIM'}=90^o\)

Xét ∆OIM và ∆OIM' có:

OI chung

\(\widehat{OIM}=\widehat{OIM'}=90^o\)

IM = IM'

Do đó ∆OIM = ∆OIM' (c.g.c).

Vì hai điểm A, B thuộc (O) nên OA = OB.

Mà d là đường trung trực của đoạn AB nên nên O thuộc d.

Hay đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn.

Vậy d là một trục đối xứng của (O).

Gấp đôi hình tròn sao cho mép giấy của chúng đè khít lên nhau, ta miết phần ngăn cách hai nửa hình tròn ta được một đường kính.

Tiếp theo ta mở tờ giấy và gấp theo hướng khác và các mép giấy của hình tròn cũng đè khít lên nhau. Từ đó, xác định được đường kính mới.

Hai đường kính này cắt nhau tại một điểm chính là tâm của hình tròn.

Vì \(OM = 2 < \sqrt 5 = R\) nên điểm M nằm trong đường tròn.

Vì OP là đường chéo của tam giác vuông có cạnh là 1 và 2 nên \(OP = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt 5 = R\) nên P nằm trên đường tròn.

Vì \(ON = 3 > \sqrt 5 = R\) nên điểm N nằm ngoài đường tròn.

Áp dụng định lý Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow BC = 5\)(cm)

Gọi O là trung điểm của cạnh BC.

Ta có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(OA = \frac{{BC}}{2} = OB = OC = 2,5\)(cm).

Suy ra A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính OB = 2,5 cm.

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà  \(AB \bot d\) nên \(d \bot CD\)

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD và E là trung điểm của AC và BD.

Suy ra: EA = EB = EC = ED

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay chỉ có một đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm này.

Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD.

b) Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABC vuông tại B có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18 \Rightarrow AC = 3\sqrt 2 \)(cm)
Vậy bán kính đường tròn là: \(EA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)(cm).