Chủ đề / Chương

Bài học

Chủ đề

Bài 11. Nguyên hàm

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM
ND
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
Đọc tiếp
ND

Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=x^2+1\) và \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3+x\) với \(x\in\text{ ℝ}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1\)

b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)?

\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x;G\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x\).

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\)

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\)

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:

\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND

Cho hàm số f(x) = x3.

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\text{ℝ}\).

b) Hàm số \(G\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}+C\) (với C là hằng số) có một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\text{ℝ}\) không? Vì sao?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có: \(G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND

Tìm \(\int x^3dx\).

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Vì \(\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\int {{x^3}dx}  = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int kf\left(x\right)\)dx và \(k\int f\left(x\right)\)dx.

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND

Cho hàm số f(x) = xn (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left(x\right)=\dfrac{x^{n-1}}{n+1}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int x^ndx\).

b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int kx^ndx\) (k là hằng số khác 0).

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

b) \(\int {k{x^n}dx}  = k\int {{x^n}dx}  = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx\) và \(\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx\).

ND

Tìm:

a) \(\int\left(3x^2+1\right)dx;\)                        b) \(\int\left(2x-1\right)^2dx\).

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx}  = 3\int {{x^2}dx + \int {1dx = {x^3} + x + C} } \);

b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx}  = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C} } } } \).

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
ND
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số MR(x) R(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi MR(x) 300 – 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.
Đọc tiếp
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300\int {dx - 0,1\int {xdx = 300x - 0,05{x^2} + C} } } } \)

Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\)

Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\)

Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng)

Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt
Bài trước
Bài tiếp theo