Bài 1: Tọa độ vectơ

\(\overrightarrow v  + \overrightarrow w  = (10 + 3,5;( - 8) + 0) = (13,5; - 8)\)

Vậy tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc \(\overrightarrow v \) và  \(\overrightarrow w \) là \((13,5; - 8)\)

Ta có tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm B và A

Nên ta có \(\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};{y_A}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_B};{y_B}} \right) - \left( {{x_A};{y_A}} \right) = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)

a) 

b) Vì tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:

\(\overrightarrow {OD}  = \left( { - 1;4} \right),\overrightarrow {OE}  = \left( {0; - 3} \right),\overrightarrow {OF}  = \left( {5;0} \right)\)

c) 

Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ   và \(\overrightarrow j \)là

 và \(\overrightarrow j  = (0;1)\)

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow m  + \overrightarrow n  = \left( {\left( { - 6 + 0} \right);1 + 2} \right) = ( - 6;3)\\\overrightarrow m  - \overrightarrow n  = \left( {\left( { - 6 - 0} \right);\left( {1 - 2} \right)} \right) = \left( { - 6; - 1} \right)\\10\overrightarrow m  = (10.( - 6);10.1) = ( - 60;10)\\ - 4\overrightarrow n  = (( - 4).0;( - 4).2) = (0; - 8)\end{array}\)

b) Ta có

\(\overrightarrow m .\overrightarrow n  = ( - 6).0 + 1.2 = 0 + 2 = 2\)

Ta có \(10\overrightarrow m  = ( - 60;10)\) và \( - 4\overrightarrow n  = (0; - 8)\) nên \(\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right) = ( - 60).0 + 10.( - 8) = 0 - 80 =  - 80\)

a) Vận tốc 240 km/h nên \(\left| {\overrightarrow v } \right| = AC = 240\)

Áp dụng các tính chất trong tam giác vuông ta có

\(AB = DC = AC.\cos (\widehat {CAB}) = 240.\cos (30^\circ ) = 120{\sqrt 3 }\)

\(AD = BC = AC.\sin (\widehat {CAB}) = 240.\sin (30^\circ ) = 120\)

b) Xem A là gốc tọa độ nên ta có \(\overrightarrow {AB}  = 120\overrightarrow i ,\overrightarrow {AD}  = 120{\sqrt 3 }\overrightarrow j ,\overrightarrow v  = \overrightarrow {AC}  = 120\overrightarrow i  + 120{\sqrt 3 }\overrightarrow j \)

c)

Ta có \(\overrightarrow v  = 120\overrightarrow i  + 120{\sqrt 3 }\overrightarrow j \)

Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\left( {120;120{\sqrt 3 }} \right)\)

Cho điểm M(x;y) bất kì, xác định \({M_1},{M_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông  góc của M xuống trục hoành và trục tung

Dễ thấy \(\overrightarrow {O{M_1}}= x\overrightarrow i ; \, \overrightarrow {O{M_2}}  = y \overrightarrow j \)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {O{M_2}}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \)

Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là (x;y), trùng với tọa độ điểm M.

+) Vectơ  có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục \(Ox\)và cùng chiều với \(Ox\)

+) Vectơ \(\overrightarrow j \) có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục \(Oy\)và cùng chiều với \(Oy\)

Bàn cờ được chia thành 8 hàng (1-8) và 8 cột (a-h) đánh số như hình vẽ.

Do đó mỗi quân cờ xác định khi biết số hàng và số cột, tương ứng với cặp số (x;y) trong đó x là số hàng, y là số cột.

Khi đó hai mã đen có vị trí là (8;b) và (4;e)

Hai mã trắng có vị trí là (3;c) và (3;f)

Cách 2:

Đặt gốc tọa độ tại góc dưới, bên trái của bàn cờ. Coi mỗi ô vuông là 1 đơn vị.

Ta xác định được tọa độ của các con mã như sau:

Hai mã đen có tọa độ lần lượt là (2;8), (5;4)

Hai mã trắng có tọa độ lần lượt là (3;3) và (6;3)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}} \)

Dựa vào hình vẽ ta thấy \({\overrightarrow {OA} _1} = 3\overrightarrow i \) và \({\overrightarrow {OA} _2} = 2\overrightarrow j \)

Vậy \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  = 3\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j \)

a) Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec a + \vec b = \left( {{a_1} + {a_2}\vec j} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}\vec j} \right) = \left( {{a_1} + {b_1}} \right) + \left( {{a_2} + {b_2}} \right)}\\
{\vec a - \vec b = \left( {{a_1} + {a_2}\vec j} \right) - \left( {{b_1} + {b_2}\vec j} \right) = \left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right)}\\
{k\vec a = k\left( {{a_1} + {a_2}\vec j} \right) = k{a_1} + k{a_2}\vec j}
\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}
\vec a.\vec b = \left( {{a_1}\overrightarrow i + {a_2}\vec j} \right).\left( {{b_1}\overrightarrow i + {b_2}\vec j} \right)\\
= {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\vec j + {a_2}{b_1}\overrightarrow i \vec j + {a_2}{b_2}{{\vec j}^2}\\
= {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}
\end{array}\)

Vì \({\overrightarrow i ^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1,{\overrightarrow j ^2} = {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1,\overrightarrow i \overrightarrow j  = 0\)