Question

Với a , b là các số thực > 1

Tìm MIN

M = (\(\frac{\left(a^3+b^3\right)-\left(a^2+b^2\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)

Answer 1

Lời giải:

\(M=\frac{a^3+b^3-a^2-b^2}{(a-1)(b-1)}=\frac{a^2(a-1)+b^2(b-1)}{(a-1)(b-1)}=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

\(\frac{a^2}{b-1}+4(b-1)\geq 4a\)

\(\frac{b^2}{a-1}+4(a-1)\geq 4b\)

\(\Rightarrow M+4(b-1)+4(a-1)\geq 4a+4b\)

\(\Leftrightarrow M\geq 8\)

Vậy \(M_{\min}=8\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2(b-1)\\ b=2(a-1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=2\)