Question

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D

a) Chứng minh rằng MA.MB=MC.MD

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d

Answer 1

a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có góc chung nên hai tam giác đó đồng dạng.

Vì vậy: => MA.MB = MC.MD.

b) Đặt MO = d, ta có Oi vuông góc với (P) và ta có:

MO²= MI² = OI² và OA² = OI² + IA²

Hạ IH vuông góc AB, ta có H là trung điểm của AB.

Ta có MA = MH - HA; MB = MH + HB = MH + HA.

Nên MA.MB =

MH² – HA² = (MH² + HI²) – (HA² + IH²)

= MI² – IA² = ( MI² + OI²) – (IA² + OI²)

= MO² – OẢ²

= d² – r²

Vậy MA.MB = d² – r²