Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-1-t\\z=-2+t\end{matrix}\right.,\left(t\in R\right)\); điểm \(M\left(1;2;-1\right)\) và mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x+10y+14z+64=0\). Gọi \(\Delta'\) là đường thẳng đi qua M, cắt \(\Delta\) tại A và cắt mặt cầu \(\left(S\right)\) tại B sao cho \(\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}\) (điểm B có hoành độ là số nguyên). Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là:
A. \(2x+4y-4z-19=0\)
B. \(3x-6y-6z-62=0\)
C. \(2x-4y-4z-43=0\)
D. \(3x+6y-6z-31=0\)
Bài này chỉ nên làm theo kiểu trắc nghiệm, không bao giờ nên giải tự luận vì theo mình thì nó quá là trâu :(
Trắc nghiệm thì ta có sẵn 4 mặt phẳng rồi, gọi mặt phẳng đó là (P) thì \(AB\perp\left(P\right)\Rightarrow AM\perp\left(P\right)\Rightarrow\) phương trình \(\Delta'\) chính là phương trình đường thẳng qua M và \(\perp\left(P\right)\Rightarrow\) nhận vtpt của (P) là 1 vtcp \(\Rightarrow\) dễ dàng viết được 4 pt đường thẳng \(\Delta'\) chỉ sau 5s
Đường thẳng này trước hết phải cắt \(\Delta\) nên ta tìm giao điểm của \(\Delta'\) và \(\Delta\), pt nào ko cho giao điểm \(\Rightarrow\) loại ngay, nếu có giao điểm thì tìm tiếp giao điểm của \(\Delta'\) với mặt cầu và xem hoành độ có nguyên ko, nguyên \(\Rightarrow\) kiểm tra tỉ lệ khoảng cách, ko nguyên \(\Rightarrow\) loại.
Còn tự luận thì ý tưởng của mình thế này, nhưng chắc phải làm cả tiếng đồng hồ mất:
Chia làm 2 trường hợp: \(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AM}\), nếu hên sẽ đúng luôn ngay từ trường hợp đầu tiên :D
Gọi \(A\left(a+3;-a-1;a-2\right)\Rightarrow\) từ tỉ lệ vecto suy ra tọa độ B có 3 yếu tố phụ thuộc vào \(a\), thay tọa độ đó vào pt mặt cầu \(\Rightarrow\) cái nào có hoành độ nguyên thì nhận
- Tìm được tọa độ B \(\Rightarrow\) tọa độ A \(\Rightarrow\) viết pt trung trực