ÁP dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}\right)^2\le3\left(x+y+z-a-b-c\right)=3\left(x+y+z\right)-9\)
Mà \(3\left(x+y+z\right)-9\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)(*)
Vì : (*)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-12\left(x+y+z\right)+36\ge0\Leftrightarrow\left(x+y+z-6\right)^2\ge0\)
do đó \(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-a=y-b=z-c\\x+y+z=6\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=2\\\left(x;y;z\right)~\left(1;2;3\right)\end{matrix}\right.\)_ Và các hoán vị
P/s: khi đó a=b=2 hoặc (a;b;c) ~(0;1;2) và các hoán vị
\(PT\Leftrightarrow2\sqrt{x-a}+2\sqrt{y-b}+2\sqrt{z-c}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow x-a-2\sqrt{x-a}+y-b-2\sqrt{y-b}+z-c-2\sqrt{z-c}+a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-a=1\\y-b=1\\z-c=1\end{matrix}\right.\)
Kết quả giống bên trên x=y=z=1 hoặc x=1;y=2;z=3 và các hoán vị
