Ta có :
\(\dfrac{y^2-x^2}{3}=\dfrac{x^2+y^2}{5}\)
\(\Leftrightarrow5\left(y^2-x^2\right)=3\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2-5x^2=3x^2+3y^2\)
\(\Leftrightarrow5y^2-3y^2=3x^2+5x^2\)
\(\Leftrightarrow2y^2=8x^2\)
\(\Leftrightarrow y^2=4x^2\)
\(\Leftrightarrow y^{10}=1024.x^{10}\)
Lại có : \(x^{10}.y^{10}=1024\)
\(\Leftrightarrow x^{10}.x^{10}.1024=1024\)
\(\Leftrightarrow x^{20}.1024=1024\)
\(\Leftrightarrow x^{20}=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
+) Với \(x=1\) \(\Leftrightarrow y^{10}=1024\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)
+) Với \(x=-1\) \(\Leftrightarrow y^{10}=1024\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy ..
\(x^{10}.y^{10}=1024\Leftrightarrow x^2.y^2=4\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{y^2-x^2}{3}=\dfrac{x^2+y^2}{5}=\dfrac{y^2-x^2+x^2+y^2}{3+5}=\dfrac{2y^2}{8}=\dfrac{y^2}{4}\)(1)
\(\dfrac{y^2-x^2}{3}=\dfrac{x^2+y^2}{5}=\dfrac{x^2+y^2-y^2+x^2}{5-3}=\dfrac{2x^2}{2}=\dfrac{x^2}{1}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{y^2}{4}=\dfrac{x^2}{1}\)
Lúc này bạn có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2=4\\\dfrac{y^2}{4}=\dfrac{x^2}{1}\end{matrix}\right.\) dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình