Question

Tìm x, y biết: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y+1}=\frac{1}{4}x+y+2\).

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm:

\((x-1)+4\geq 2\sqrt{4(x-1)}=4\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+3}{4}\geq \sqrt{x-1}(1)\)

\((y+1)+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{(y+1).\frac{1}{4}}=\sqrt{y+1}(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow \frac{x}{4}+y+2\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y+1}\)

Dấu "=" xảy ra (như trong điều kiện đề bài) khi :

\(\left\{\begin{matrix} x-1=4\\ y+1=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5; y=-\frac{3}{4}\)