\(\)Ta có:
\(A=p^2+59=a^xb^yc^z\left(a\ne b\ne c\right)\)
Số ước của A là:
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=...6=2.3.1\)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x+1=2\\y+1=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=a.b^2\left(a;b\in N\right)\)
+ Nếu \(p=2\Rightarrow A=63=a.b^2\Rightarrow a=7;b=3\)
+ Nếu \(p=3\Rightarrow p\) là số lẻ \(\Rightarrow A=p^2+59=68=17.2^2\)
\(\Rightarrow a=17\) hoặc \(b=2\)
* Nếu \(p< 3\Rightarrow p=3k+1\) hoặc \(p=3k+2\)
Ta lại có \(p^2+59\) là số chẵn \(\Rightarrow a=2\) hoặc \(b=2\)
* Nếu \(p=3k+1\Rightarrow A=\left(3k+1\right)^2+59=a.b^2\)
\(\Rightarrow9k^2+6k+60=a.b^2⋮3\Rightarrow a=2;b=3\) hoặc \(a=3;b=2\)
\(\Rightarrow A=p^2+59=2.3^2=18\) (loại)
\(\Rightarrow A=p^2+59=3.2^2=12\) (loại)
+ Nếu \(p=3k+2\Rightarrow A=\left(3k+2\right)^2+59=a.b^2\)
\(\Rightarrow9k^2+12k+63=a.b^2⋮3\) tương tự như trên
Vậy \(p=\left\{2;3\right\}\)