Gọi 3 phần được chia bởi x lần lượt là \(a,b,c\) \(\left(a,b,c\ne0\right)\)
Theo đề bài, ta có:
\(\dfrac{a}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{b}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{6}}\) và \(a^2+b^2+c^2=24309\)
Đặt \(\dfrac{a}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{b}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{6}}=k\) \(\left(k\ne0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{2}{5}k\\b=\dfrac{3}{4}k\\c=\dfrac{1}{6}k\end{matrix}\right.\)
Ta có; \(a^2+b^2+c^2=24309\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{5}k\right)^2+\left(\dfrac{3}{4}k\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}k\right)^2=24309\) \(\Rightarrow\dfrac{4}{25}k^2+\dfrac{9}{16}k^2+\dfrac{1}{36}k^2=24309\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{4}{25}+\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{36}\right)\times k^2=24309\) \(\Rightarrow\dfrac{2701}{3600}k^2=24309\) \(\Rightarrow k^2=24309\div\dfrac{2701}{3600}\) \(\Rightarrow k^2=24309\times\dfrac{3600}{2701}\) \(\Rightarrow k^2=32400\) \(\Rightarrow k=\pm180\)
- Với \(k=-180\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{2}{5}\times\left(-180\right)\\b=\dfrac{3}{4}\times\left(-180\right)\\c=\dfrac{1}{6}\times\left(-180\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-72\\b=-135\\c=-30\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=a+b+c=\left(-72\right)+\left(-135\right)+\left(-30\right)=-237\)
- Với \(k=180\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{2}{5}\times180\\b=\dfrac{3}{4}\times180\\c=\dfrac{1}{6}\times180\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=72\\b=135\\c=30\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=a+b+c=72+135+30=237\)
Vậy có \(2\) giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(-237\) và \(237\).