Vì n \(\in\) N => \(\left\{{}\begin{matrix}6n-3\in Z\\6n-3\ne0\\4n-6\in Z\\4n-6\ne0\end{matrix}\right.\)
=> M là phân số
Ta có :
M = \(\dfrac{6n-3}{4n-6}\)
=> 2M = \(\dfrac{2\left(6n-3\right)}{4n-6}=\dfrac{2\left(6n-3\right)}{2\left(2n-3\right)}=\dfrac{6n-3}{2n-3}=\dfrac{6n-3-6+6}{2n-3}=\dfrac{6n-\left(3+6\right)+6}{2n-3}=\dfrac{6n-9}{2n-3}+\dfrac{6}{2n-3}=3+\dfrac{6}{2n-3}\)Vì M lớn nhất => 2M lớn nhất
=> \(3+\dfrac{6}{2n-3}\) lớn nhất
=> \(\dfrac{6}{2n-3}\)lớn nhất
=> \(\dfrac{6}{2n-3}\) > 0 và lớn nhất
=> 2n - 3 > 0 và nhỏ nhất ( vì 6 > 0 )
Vì n \(\in\) N => \(\left\{{}\begin{matrix}2n-3\in Z\\2n-3\ne0\\\left(2n-3\right)⋮̸2\end{matrix}\right.\)
=> 2n - 3 là số nguyên dương nhỏ nhất không chia hết cho 2
=> 2n - 3 = 1
=> 2n = 3 + 1
=> 2n = 4
=> n = 4 : 2
=> n = 2
Khi đó : M = \(\dfrac{6.2-3}{4.2-6}=\dfrac{9}{2}=4,5\)
Vậy n = 2 thì M có giá trị lớn nhất là 4,5