Question

Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương:

a) \(n^2-n+2\)

b) \(n^4-n+2\)

c) \(n^3-n+2\)

d) \(n^5-n+2\)

Answer 1

Đặt \(n^2-n+2=k^2\left(k\ge n\right)\)

\(\Rightarrow n^2-n-2=k^2-4\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n-2\right)=\left(k+2\right)\left(k-2\right)\)

\(\circledast k=-2\Leftrightarrow n=-1\left(tm\right)\)

\(\circledast k=2\Rightarrow n=2\left(tm\right)\)

\(\circledast k\ne\pm2\)

Do \(n-2\le k-2\Leftrightarrow n+1\ge k+2\)

Mà: \(n+1\le k+1\)

\(\Rightarrow k+2\le n+1\le k+1\) (vô lí)

Vậy n = -1; 2