Đây là nguyên hàm của phân thức hữu tỉ thực sự. Đa thức mẫu số có hai nghiệm là \(x=0,x=-2\). Ta có \(x^3+4x^2+4x=x\left(x+2\right)^2\)
Ta viết biểu thức dạng \(\frac{x^2+3x-1}{x^3+4x^2+4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{\left(x+2\right)^2}\) (1)
Trong đó A, B, C là những hệ số chưa được xác định (chưa biết)
Nghiệm \(x=2\) có bội bằng 2, cho nên trong khai triển vừa viết nó tương ứng với hai số hạng.
Quy đồng rồi khử mẫu số ở hai vế (1) ta có
\(x^2+3x-1\equiv A\left(x+2\right)^2+Bx\left(x+2\right)+Cx\) (2)
Ta cần xác định các hệ số A,B,C
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc x ở hai vế, ta có :
\(\begin{cases}A+B=1\\4A+2B+C=3\\4A=-1\end{cases}\)\(\Rightarrow\) \(A=-\frac{1}{4};B=\frac{5}{4};C=\frac{3}{2}\)
