Đặt \(u=x,dv=e^{ax}\cos bxdx\)
khi đó \(du=dx,v=\int e^{ax}\cos bxdx\)
Sau hai lần tìm nguyên hàm liên tiếp, ta thu được
\(v\left(x\right)=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)
Do đó :
\(I=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{1}{a^2+b^2}\int e^{ax}\left(a\cos bx+b\sin bx\right)dx\)
\(=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{a}{a^2+b^2}\int e^{ax}\cos bxdx-\frac{b}{a^2+b^2}\int e^{ax}\sin bxdx\)
Tích phân thứ nhất ở vế phải đã được tính (chính là v(x). Tích phân thứ hai được tính hoàn toàn tương tự
\(\int e^{ax}\sin bxdx=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)
Từ các tính toán trên suy ra :
\(I=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left[\left(x-\frac{a}{a^2+b^2}\right)\left(a\cos bx+b\sin bx\right)-\frac{b}{a^2+b^2}\left(a\sin bx+b\cos bx\right)\right]+C\)