Question

Tìm một phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết khi chia tử cho mẫu ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn,chu kì có 3 chữ số mà phân số này bằng lập phương của 1 số khác

Answer 1

Theo bài ra khi chia tử cho mẫu ta được số 0, abc nên phân số cần tìm có dạng \(\frac{abc}{999}\)

Ta có : \(\frac{abc}{999}\) \(=\frac{abc}{3^3.37}=\frac{abc.37^2}{\left(3.37\right)^2}\)

Vì phân số này bằng lập phương của một phân số khác nên \(abc.37^2=\left(d.37\right)^3\Rightarrow abc=37d^3\)

Mặt khác 0 < abc < 999 => 37d³ < 999 => d³ < 27 <=> d = 3

Với d = 1 thì abc = 037 \(\Rightarrow\) phân số cần tìm là : \(\frac{037}{999}=\frac{1}{27}\)

Với d = 2 thì abc = 296 => phân số cần tìm là : \(\frac{296}{999}=\frac{8}{27}\)