Question

tìm m để hàm số \(y=x^3-2mx^2-\left(m+1\right)x+1\) đồng biến trên (0;2) bằng cách cô lập m

Answer 1

\(y'=3x^2-4mx-m-1\)

Hàm đồng biến trên (0;2) khi \(\forall x\in\left(0;2\right)\) ta có:

\(y'\ge0\Leftrightarrow3x^2-4mx-m-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-1\ge m\left(4x+1\right)\) (1)

Do \(4x+1>0\) ; \(\forall x\in\left(0;2\right)\) nên (1) tương đương:

\(m\le\dfrac{3x^2-1}{4x+1}\Leftrightarrow m\le\min\limits_{\left(0;2\right)}\dfrac{3x^2-1}{4x+1}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2-1}{4x+1}\) trên \(\left(0;2\right)\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{12x^2+6x+4}{\left(4x+1\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(0\right)=-1\Rightarrow m\le-1\)