Question

Tìm hai số nguyên tố p, biết: p + 2; p + 10 cùng là số nguyên tố

Answer 1

Vì p là số nguyên tố nên p ∈ {2; 3; 5; 7; ...}

Thay p = 2, ta có:

p + 2 = 2 + 2 = 4$⋮2\; và\; p\; +\; 2\; >\; 2$

$=>\; p\; +\; 2\; là\; hợp\; số$

$=>\; p\; =\; 2\; (không\; thỏa\; mãn\; yêu\; cầu)$

$Thay\; p\; =\; 3,\; ta\; có:$

$p\; +\; 2\; =\; 3\; +\; 2\; =\; 5$

$p\; +\; 10\; =\; 3\; +\; 10\; =\; 13$

$Vì\; 5\; và\; 13\; là\; 2\; số\; nguyên\; tố\; nên\; p\; +\; 2\; và\; p\; +\; 10\; cũng\; là\; 2\; số\; nguyên\; tố$

$=>\; p\; =\; 3\; (thỏa\; mãn)$

$Với\; p\; là\; số\; nguyên\; tố\; lớn\; hơn\; 3\; thì\; p⋮̸3$

$=>\; p\; có\; 2\; dạng\; tổng\; quát\; là:\; 3k\; +\; 1\; và\; 3k\; +\; 2$

$Thay\; p\; =\; 3k\; +\; 1,\; ta\; có:$

$p\; +\; 2\; =\; 3k\; +\; 1\; +\; 2\; =\; 3k\; +\; 3\; =\; 3(k\; +\; 1)⋮3\; và\; p\; +\; 2\; >\; 3$

$=>\; p\; +\; 2\; là\; hợp\; số$

$=>\; p\; =\; 3k\; +\; 1\; (không\; thỏa\; mãn\; yêu\; cầu)$

$Thay\; p\; =\; 3k\; +\; 2,\; ta\; có:$

$p\; +\; 10\; =\; 3k\; +\; 2\; +\; 10\; =\; 3k\; +\; 12\; =\; 3(k\; +\; 4)⋮3\; và\; p\; +\; 10\; >\; 3$

$=>\; p\; +\; 10\; là\; hợp\; số$

$=>\; p\; =\; 3k\; +\; 2\; (không\; thỏa\; mãn\; yêu\; cầu)$

$Vậy\; với\; p\; =\; 3\; thì$p + 2 và p + 10 cùng là số nguyên tố