Question

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK: \(x\geq 1; y\geq 4\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{1(x-1)}\leq \frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{y}\)

\(\Rightarrow y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}\)

\(\sqrt{y-4}=\frac{1}{2}\sqrt{4(y-4)}\leq \frac{4+(y-4)}{4}=\frac{y}{4}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{y-4}\leq \frac{xy}{4}\)

Do đó: \(M\leq \frac{\frac{xy}{2}+\frac{xy}{4}}{xy}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=2; y=8\)