Question

Tìm các số a;b;c nguyên dương sao cho:

a³ + 3a² + 5 = 5^b và a + 3 = 5^c

Answer 1

Ta có :

\(a\in N\)

\(\Rightarrow a^b=a^3+3a^2+5>a+3=5^c\)

\(\Rightarrow5^b>5^c\Rightarrow b>c\)

\(\Rightarrow5^b⋮5^c\)

\(\Rightarrow\) \(a^3+3a^2+5⋮a+3\)

\(\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5⋮a+3\)

Mà \(a^2+\left(a+3\right)⋮a+3\)

\(\Rightarrow5⋮a+3\)

\(\Rightarrow a+3\inƯ\left(5\right)\)\(=\left\{\pm1;\pm5\right\}\) \(\left(1\right)\)

Do \(a\in N\) \(\Rightarrow a+3\ge4\)\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow a+3=5\)

\(a=5-3=2\) (*)

Thay (*) và biểu thức \(a^3+3a^2+5\) và \(a+3=5^c\) ta có :

\(2^3+3.2^2+5=5^b\) \(\Rightarrow b=2\)

\(2+3=5^c\Rightarrow c=1\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=1\end{matrix}\right.\) là giá trj cần tìm

~ Chúc bn học tốt ~