Question

Tìm các chữ số a,b,c sao cho: \(\overline{abc}=10\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy \(\overline{abc}=10(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow \overline{abc}\vdots 10\Rightarrow c=0\)

Khi đó, bài toán trở thành:

\(\overline{ab0}=10(a^2+b^2)\Leftrightarrow 100a+10b=10(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow 10a+b=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2=10a-b(b-1)\) chẵn, do đó $a$ chẵn, kéo theo $a^2$ chia hết cho $4$

Khi đó, \(10a-b(b-1)\vdots 4, a\vdots 2\Rightarrow b(b-1)\vdots 4\)

Mà \(\text{UCLN}(b,b-1)=1\), do đó sẽ xảy ra 2 TH:

TH1: \(b\vdots 4\Rightarrow b\in\left \{0,4,8\right\}\). Thử vào điều kiện ban đầu không thu được $a$ thỏa mãn (loại)

TH2: \(b-1\vdots 4\Rightarrow b\in\left\{1,5,9\right\}\). Thử vào điều kiện ban đầu không thu được $a$ thỏa mãn

Vậy không tồn tại số cần tìm.