Ta có: \(\overrightarrow u = \left( {0; - 5} \right),\;\overrightarrow v = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow u .\;\,\overrightarrow v = 0.\sqrt 3 + \left( { - 5} \right).1 = - 5.\)
Cho hai vectơ cùng phương \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {kx;ky} \right)\). Hãy kiểm tra công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) theo từng trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k \ge 0\)
c) \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k < 0\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {x'y'} \right)\).
a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u ,\;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow v .\)
b) Tính \(A{B^2},O{A^2},O{B^2}\) theo tọa độ của A và B.
c) Tính \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) theo tọa độ của A, B.
Cho ba vectơ \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v = ({x_2};{y_2}),\;\overrightarrow w = ({x_3};{y_3}).\)
a) Tính \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right),\;\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w \) theo tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w .\)
b) So sánh \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right)\) và \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)
c) So sánh \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow v .\overrightarrow u \)
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?
Tìm điều kiện của \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) để:
a) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)
b) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Khi nào thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)?
Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \). Hãy tìm số đo các góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \), \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DB} \).
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow a = ( - 3;1),\;\overrightarrow b = (2;6)\)
b) \(\overrightarrow a = (3;1),\;\overrightarrow b = (2;4)\)
c) \(\overrightarrow a = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b = (2; - \sqrt 2 )\)