Tam giác ABC vuông tại A có phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm các tia BA và HE.
a) Chứng minh rằng BE vuông góc với KC.
b) So sánh AE và EC.
c) Lấy điểm D thuộc cạnh BC, sao cho BAD=45 . Gọi I là giao điểm của BE và AD. Chứng minh rằng I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
a) Xét ΔKBC có:
+) KH ⊥ BC
+) AC ⊥ AB
Và: E là gia điểm của KH và AC
=> E là trực tâm của ΔKBC
=> BE là đường cao ΔKBC
=> BE ⊥ KC
b) Xét 2 tam giác vuông ΔABE và ΔHBE ta có:
Cạnh huyền BE chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\left(GT\right)\)
=> ΔABE = ΔHBE (c.h - g.n)
=> AE = HE (2 canhj tương ứng) (1)
ΔEHC vuông tại H
=> HE < EC (c.g.v < c.h) (2)
Từ (1) và (2) => AE < EC
c/ Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}=90^0-45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BAD}\left(=45^0\right)\)
=> AD là phân giác của góc BAC
Mà I ∈ AD (GT)
=> I ∈ tia phân giác của góc BAC
=> I cách đều 2 cạnh AB, AC
a) ΔKBC có:
+) KH ⊥ BC (GT)
+) AC ⊥ BK (GT)
+) \(KH\cap AC=\left\{E\right\}\)
=> E là trực tâm của ΔKBC
=> BE là đường cao của ΔKBC
=> BE ⊥ KC
b) Sửa đề: AE = EH
Xét 2 tam giác vuông ΔABE và ΔHBE ta có:
Cạnh huyen BE: chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\left(GT\right)\)
=> ΔABE = ΔHBE (c.h - g.n)
=> AE = EH (2 cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}=90^0-45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)
=> AD là phân giác của góc BAC (1)
Lại có: I ∈ AD (2)
Từ (1) và (2) => I cách đều AC và AB