\(\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)}{2x^2+2y^2+2z^2-2xy+2yz+2xz}\)
\(=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(x+y+z\right)^2-6\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
1. Viết biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng
\(2xy^2+x^2y^4+1\)
2, Rút gọn biểu thức :
a, \(2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
b, \(\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)
cho x,y,z là các số thực dương khác 1 và xyz=1. Chứng minh rằng \(\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : \(x+y+z=xyz\)
CMR : \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Cho \(x+y+z=1\) Chứng minh \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\)
Bài 1:
a, Cho ba số x,y,z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-z}+\dfrac{2}{z-x}\)
Cho x,y,z là số thực dương thoả mãn \(x+y+z=1\) . Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2+5yz}+\frac{y^2}{\left(z+x\right)^2+5xz}-\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
Gọi m là số nhỏ nhất trong 3 số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\)
Chứng minh rằng: \(m\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
a) Cho \(x,y,z\ne0\) và \(x-y-z=0\) . Tính \(K=\left(1-\frac{z}{x}\right)\left(1-\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\)
b) \(\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}\) Chứng minh \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)
chứng minh \(x^2\cdot\left(1+y^2\right)+y^2\cdot\left(1+z^2\right)+z^2\cdot\left(1+x^2\right)\ge6\cdot x\cdot y\cdot z\)