Mọi Người ơi Giúp Em Pls
Mai em phải nộp rùi
Bài 1: Tìm GTNN
A = \(\left(x^2-x\right)\left(x^2+3x+2\right)\)
B = \(x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2\)
C = \(4x^2+4x-6\left|2x+1\right|+6\)
Bài 2: Tìm GTLN
E = \(\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}\)
Bài 3 Tìm cả GTNN và GTLN
E = \(\sqrt{-x^2+6x+1}\)
A = \(\sqrt{x}\sqrt{2-x}\)
B = \(\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)
Bài 1:
Ta có:
\(A=(x^2-x)(x^2+3x+2)=x(x-1)(x+1)(x+2)\)
\(=[x(x+1)][(x-1)(x+2)]=(x^2+x)(x^2+x-2)\)
\(=(x^2+x)^2-2(x^2+x)=(x^2+x)^2-2(x^2+x)+1-1\)
\(=(x^2+x-1)^2-1\geq -1\)
Vậy GTNN của $A$ là $-1$. Dấu "=" xảy ra khi \((x^2+x-1)^2=0\Leftrightarrow x^2+x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)
------------------------
\(B=x^4+(x-2)^4+6x^2(x-2)^2=x^4+(x-2)^4-2x^2(x-2)^2+8x^2(x-2)^2\)
\(=[x^2-(x-2)^2]^2+8x^2(x-2)^2\)
\(=16(x-1)^2+8[x(x-2)]^2=16(x^2-2x+1)+8(x^2-2x)^2\)
\(=8[(x^2-2x)^2+2(x^2-2x+1)]=8[(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1+1]\)
\(=8[(x^2-2x+1)^2+1]=8(x^2-2x+1)^2+8\geq 8\)
Vậy GTNN của biểu thức là $8$ khi \((x^2-2x+1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)^4=0\Leftrightarrow x=1\)
-------------------
\(C=4x^2+4x-6|2x+1|+6=(4x^2+4x+1)-6|2x+1|+5\)
\(=|2x+1|^2-6|2x+1|+5\)
\(=|2x+1|^2-6|2x+1|+9-4=(|2x+1|-3)^2-4\geq -4\)
Vậy GTNN của biểu thức là $-4$ khi \(|2x+1|=3\Leftrightarrow x=1\) hoặc $x=-2$
Bài 2:
ĐKXĐ: \(x\geq 0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
\(x+1\geq 2\sqrt{x}\Rightarrow x+1+\sqrt{x}\geq 3\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow E=\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}\leq \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của $E$ là $\frac{1}{3}$ khi $x=1$
Bài 3:
\(E=\sqrt{-x^2+6x+1}\geq 0\) (theo tính chất căn bậc 2)
Vậy \(E_{\min}=0\Leftrightarrow -x^2+6x+1=0\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{10}\)
Mặt khác:
\(E=\sqrt{-x^2+6x+1}=\sqrt{10-(x^2-6x+9)}=\sqrt{10-(x-3)^2}\)
Vì \((x-3)^2\geq 0\Rightarrow 10-(x-3)^2\leq 10\)
\(\Rightarrow E=\sqrt{10-(x-3)^2}\leq \sqrt{10}\)
Vậy \(E_{\max}=\sqrt{10}\Leftrightarrow x=3\)
------------------
\(A=\sqrt{x}.\sqrt{2-x}=\sqrt{x(2-x)}\geq 0\) theo tính chất CBH
Vây $A_{\min}=0$ khi $x(2-x)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$
Mặt khác:
\(A=\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{1-(x^2-2x+1)}=\sqrt{1-(x-1)^2}\)
Vì \((x-1)^2\geq 0\Rightarrow 1-(x-1)^2\leq 1\Rightarrow A=\sqrt{1-(x-1)^2}\leq 1\)
Vậy $A_{\max}=1$ khi $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$
-------------------------
\(B=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)
\(\Rightarrow B^2=(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})^2=2+2\sqrt{x(2-x)}=2+2A\)
Vì \(0\leq A\leq 1\)
\(\Rightarrow 2\leq B^2=2+2A\leq 4\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} B\geq \sqrt{2}\\ B\leq 2\end{matrix}\right.\)
Vậy $B_{\min}=\sqrt{2}$ khi $x=0$ hoặc $x=2$
$B_{\max}=2$ khi $x=1$
Bổ sung: Với bài 3 phần cuối bạn có thể sử dụng BĐT sau:
Với $a,b\geq 0$ thì:
\(\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}\)
Cách chứng minh rất đơn giản dựa vào bình phương rồi biến đổi tương đương.