\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + \dfrac{x}{{x + 1}} = \left( {y + 2} \right)\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \\ 3{x^2} - 8x - 3 = 4\left( {x + 1} \right)\sqrt {y + 1} \end{array} \right.\left( {x,y \in \mathbb{R} } \right)\)
Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge-1\end{matrix}\right.\)
\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{x + 1}} = \left( {y + 2} \right)\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} }} = \left( {y + 2} \right)\sqrt {y + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)^3} + \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = {\left( {\sqrt {y + 1} } \right)^2} + \sqrt {y + 1} \end{array}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^3+t\) trên $\mathbb{R}$ có \(f'\left(t\right)=3t^2+1>0\forall t\in\) $\mathbb{R}$ suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Nên \(f\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} \right) = f\left( {\sqrt {y + 1} } \right) \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = \sqrt {y + 1} . \) Thay vào $(2)$ ta được \(3x^2-8x-3=4x\sqrt{x+1}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {x + 2\sqrt {x + 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\sqrt {x + 1} = x - 1\\ 2\sqrt {x + 1} = 1 - 3x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1\\ {x^2} - 6x - 3 = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{1}{3}\\ 9{x^2} - 10x - 3 = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 + 2\sqrt 3 \\ x = \dfrac{{5 - 2\sqrt {13} }}{9} \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} - 1 \)
Với \(x = 3 + 2\sqrt 3 \Rightarrow y = \dfrac{{4 + 3\sqrt 3 }}{2};x = \dfrac{{5 - 2\sqrt {13} }}{9} \Rightarrow y = - \dfrac{{41 + 7\sqrt {13} }}{{72}} \)
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện.
Vậy...