Question

Hai bạn An và Bình cùng chạy đua từ điểm A trên đường cái đến điểm B trên cánh đồng như hình 1. Điểm B cách đường cái một khoảng BD = l = 240m; AD = 320m. Biết tốc độ tối đa của mỗi bạn trên đường cái là v₁ và trên cánh đồng là v₂ = 0,6v₁.

a)Bạn An quyết định chạy theo đường thẳng từ A đến B còn bạn Bình chạy trên đường cái một đoạn \(AC=\frac{AD}{2}\) rồi mới chạy trên cánh đồng theo đường thẳng CB. Cho rằng các bạn đều chạy với tốc độ tối đa, bạn nào sẽ đến B trước.

b)Tìm các vị trí C thích hợp để Bình đến B trước An. Vị trí nào của C sẽ giúp Bình tới B nhanh nhất?

Answer 1

Thời gian An chạy: \(t_1=\frac{AB}{v_2}=\frac{400}{0,6v_1}\)

Thời gian Bình chạy: \(t_2=\frac{AC}{v_1}+\frac{BC}{v_2}\)

Thay số ta chứng minh được t2<t1, Bình đến B trước An.

Đặt x = CD \(t_1=\frac{AD}{v_2}=\frac{400}{0,6v_1}\) \(t_2=\frac{AC}{v_1}+\frac{BC}{v_2}=\frac{320-x}{v_1}+\frac{\sqrt{x^2+240^2}}{v_2}=\frac{320}{v_1}+\frac{\sqrt{x^2+240^2}-0,6x}{0,6v_1}=\frac{320}{v_1}+\frac{y}{0,6v_1}\)

t1-t2>0 \(\Rightarrow t_1-t_2=\frac{400}{0,6v_1}-\frac{320}{v_1}-\frac{y}{0,6v_1}=\frac{400-192-y}{0,6v_1}>0\) \(2018-y>0\Rightarrow0,64x^2-249,6x+14336< 0\Rightarrow70m< x< 320m\) Hay \(0< AC< 250m\)

Khảo sát t2:\(t_2=\frac{320}{v_1}+\frac{y}{0,6v_1}\) Để t2 cực tiểu thì y phải cực tiểu y= \(\sqrt{x^2+240^2}-0,6x\) \(\Rightarrow0,64x^2-1,2xy+\left(240^2-y^2\right)=0\rightarrow\Delta\ge0\rightarrow y\ge192\)

Vậy \(y_{min}=192\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}\)=180m. Khi đó AC=140m