Question

Giải phương trình :

\(5^{x-2}=5^{x^2-x-1}+\left(x-1\right)^2\)

Answer 1

Phương trình tương đương với :

\(5^{x-2}-x-1=5^{x^2-x-1}+x^2-x\)

\(\Leftrightarrow5^{x-1}-5\left(x-1\right)=5^{x^2-x}+5\left(x^2-x\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=5^t+5t\left(t\in R\right)\)

Dễ thấy \(f\left(t\right)\) luôn đồng biến.

Mặt khác :

\(f\left(x-1\right)=f\left(x^2-x\right)\)

Do đó

\(\left(x-1\right)=\left(x^2-x\right)\)

Từ đó dễ dàng tìm được x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.