Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+y)^2-2xy=5\\
(x+y)^3-3xy(x+y)=7\end{matrix}\right.\)
Đặt $x+y=a; xy=b$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a^2-2b=5\\ a^3-3ab=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=a^2-5(1)\\ 2a^3-6ab=14\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2a^3-3a(a^2-5)=14\)
\(\Leftrightarrow a^3-15a+14=0\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a-14)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=1\\ a^2+a-14=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=1\\ a=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{2}\end{matrix}\right.\)
Nếu $a=1$: \(b=\frac{a^2-5}{2}=-2\)
Vậy $x+y=1; xy=-2$ nên theo định lý Vi-et đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT $X^2-X-2=0$
$\Rightarrow (x,y)=(2,-1)$ và hoán vị
Nếu \(a=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{2}\):
Ta thấy $(x-y)^2\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^2-4xy\geq 0\Leftrightarrow a^2\geq 4b$
Thay vào $(1)\Rightarrow a^2-5=2b\leq \frac{a^2}{2}\Rightarrow a^2\leq 10$
Mà với $a=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{2}$ thì $a^2>10$ (vô lý nên loại)
Vậy.........
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+y)^2-2xy=5\\
(x+y)^3-3xy(x+y)=7\end{matrix}\right.\)
Đặt $x+y=a; xy=b$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a^2-2b=5\\ a^3-3ab=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=a^2-5(1)\\ 2a^3-6ab=14\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2a^3-3a(a^2-5)=14\)
\(\Leftrightarrow a^3-15a+14=0\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a-14)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=1\\ a^2+a-14=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=1\\ a=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{2}\end{matrix}\right.\)
Nếu $a=1$: \(b=\frac{a^2-5}{2}=-2\)
Vậy $x+y=1; xy=-2$ nên theo định lý Vi-et đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT $X^2-X-2=0$
$\Rightarrow (x,y)=(2,-1)$ và hoán vị
Nếu \(a=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{2}\):
Ta thấy $(x-y)^2\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^2-4xy\geq 0\Leftrightarrow a^2\geq 4b$
Thay vào $(1)\Rightarrow a^2-5=2b\leq \frac{a^2}{2}\Rightarrow a^2\leq 10$
Mà với $a=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{2}$ thì $a^2>10$ (vô lý nên loại)
Vậy.........
