31.
\(y'=\dfrac{1+m}{\left(x+1\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi:
\(\dfrac{1+m}{\left(x+1\right)^2}>0\Rightarrow m>-1\) (C)
32.
\(y'=\dfrac{4-m^2}{\left(x+4\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi:
\(4-m^2>0\Rightarrow-2< m< 2\)
\(\Rightarrow m=\left\{-1;0;1\right\}\)
Có 3 giá trị nguyên của m
33.
\(y'=\dfrac{m-1}{\left(x+1\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
\(m-1>0\Rightarrow m>1\)
34.
\(y'=\dfrac{2m-1}{\left(x+2m\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\\-2m>-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}< m< \dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow m=1\)
Có 1 giá trị nguyên của m
35.
\(y'=4x^3-4mx\ge0\) ; \(\forall x\in\left(1;2\right)\)
\(\Rightarrow4x^3\ge4mx\)
\(\Rightarrow m\le x^2\)
\(\Rightarrow m\le\min\limits_{\left(1;2\right)}\left(x^2\right)=1\)
Vậy \(m\le1\)
Kếp hợp \(m>-2019\Rightarrow-2018\le m\le1\)
Có \(1-\left(-2018\right)+1=2020\) giá trị nguyên của m
36.
\(y'=4m^2x^3-4\left(4m-1\right)x=4x\left(m^2x^2-4m+1\right)\)
\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\m^2x^2=4m-1\end{matrix}\right.\)
- Với \(m\le0\) hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn
- Với \(m>0\), do m nguyên nên \(4m-1>0\Rightarrow x^2=\dfrac{4m-1}{m^2}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{4m-1}{m^2}}\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:
\(\sqrt{\dfrac{4m-1}{m^2}}\le1\) \(\Rightarrow4m-1\le m^2\)
\(\Rightarrow m\ge2+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-9\le m\le0\\4\le m\le9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có \(10+6=16\) giá trị nguyên của m
37.
Đặt \(cosx=t\Rightarrow t\in\left(0;1\right)\)
Do \(cosx\) nghịch biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\Rightarrow\) bài toán thỏa mãn khi \(y=\dfrac{2t-1}{t-m}\) nghịch biến trên \(\left(0;1\right)\)
\(y'=\dfrac{-2m+1}{\left(t-m\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m+1< 0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m\ge1\)
38.
\(f'\left(x\right)=\left(m+1\right)cosx+m+1=\left(m+1\right)\left(cosx+1\right)\)
- Với \(m=-1\) không thỏa mãn
- Với \(m\ne-1\)
Do \(cosx+1\ge0\) ; \(\forall x\) nên hàm nghịch biến trên R khi:
\(m+1< 0\Rightarrow m< -1\)
39.
\(y'=cosx-m\)
Hàm đồng biến trên R khi:
\(cosx-m\ge0\Rightarrow m\le cosx\) ;\(\forall x\)
\(\Rightarrow m\le\min\limits_Rcosx\)
\(\Rightarrow m\le-1\)
40.
Đặt \(cotx=t\Rightarrow t\in\left(0;1\right)\)
\(cotx\) nghịch biến trên \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên hàm nghịch biến trên \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) khi \(y=\dfrac{t-2}{t-m}\) đồng biến trên \(\left(0;1\right)\)
\(y'=\dfrac{-m+2}{\left(t-m\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m+2>0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le0\\1\le m< 2\end{matrix}\right.\)
