Question

Định m để hệ có nghiệm duy nhất
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=m+1\\\sqrt{1-x}+\sqrt{y}=m+1\end{matrix}\right.\)

Answer 1

ĐKXĐ : \(0\le x,y\le1\)

Ta có : 

 \(\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=m+1;\sqrt{y}+\sqrt{1-x}=m+1\\ \Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y}+\sqrt{1-x}\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\)

 \(TH1:\ 1\ge x>y\ge0\Rightarrow\sqrt{x}>\sqrt{y};\sqrt{1-x}< \sqrt{1-y}\\ \Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}>0;\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}< 0\\ \Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}>\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\left(VL\right)\)

\(TH2:\ 1\ge y>x\ge0. Tương\ tự:vôlý\)

TH3: x=y. Khi đó hệ phương trình trở thành

\(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m+1\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A+B}\le\sqrt{A}+\sqrt{B}\le\sqrt{2\left(A+B\right)}\) ta có:

\(1\le m+1\le\sqrt{2}\Leftrightarrow0\le m\le\sqrt{2}-1\)

Answer 2