Question

Đề:

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \(6^{2n+1}+5^{n+2}\) chia hết cho 3.

b) Tìm số dư trong phép chia \(2^{100}\) cho 9; cho 25.

Answer 1

a/ Không chia hết cho 3 mới đung

\(\left\{{}\begin{matrix}6^{2n+1}⋮3\\5^{n+2}⋮̸3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}⋮̸3\)

b/

\(2^{100}=2.2^{99}=2.\left(8\right)^{33}\)

Mà \(8\equiv-1\left(mod9\right)\Rightarrow8^{33}\equiv\left(-1\right)^{33}\left(mod9\right)\Rightarrow8^{33}\equiv\left(-1\right)\left(mod9\right)\)

\(\Rightarrow2.8^{33}\equiv-2\left(mod9\right)\Rightarrow2^{100}\) chia 9 dư \(9-2=7\)

\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}\)

Mà \(1024\equiv-1\left(mod25\right)\Rightarrow1024^{10}\equiv\left(-1\right)^{10}\left(mod25\right)\Rightarrow1024^{10}\equiv1\left(mod25\right)\)

Vậy \(2^{100}\) chia 25 dư 1