Question

CTR : với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:

a) 15n + 1 / 30n + 1

b) n³ + 2n / n⁴ + 3n² + 1

( Mk cần gấp)

Answer 1

b) \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)

Giải:

Gọi \(ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\) là \(d\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}n\left(n^3+2n\right)⋮d\\n^4+2n^2⋮d\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\) Hay \(n^2+1⋮d\) (1)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)\left(n^2+1\right)⋮d\) Hay \(n^4+2n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2+1\right)⋮d\) Hay \(n^2⋮d\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)-n^2⋮d\) Hay \(1⋮d\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\) hoặc \(-1\)

\(\Rightarrow\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản (Đpcm)