1. Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(\log_2\frac{x^2+5y^2}{x^2+10xy+y^2}+1+x^2-10xy+9y^2\le0\). Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của \(P=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}\) Tính \(T=10M-m\)
A. 50
B. 60
C. 104
D. 94
2. Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(\log_2\left(4x+y+2xy+2\right)^{y+2}=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\). GTNN của biểu thức \(P=2x+y\) có dạng \(M=a\sqrt{b}+c\) với a, b, c \(\in\) N, a>2. Tính \(S=a+b+c\)
A. 19
B. 3
C. 17
D. 7
1.
\(log_2\frac{x^2+5y^2}{x^2+10xy+y^2}+1+x^2-10xy+9y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(x^2+5y^2\right)+1+2\left(x^2+5y^2\right)-log_2\left(x^2+10xy+y^2\right)-\left(x^2+10xy+y^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow log_22\left(x^2+5y^2\right)+2\left(x^2+5y^2\right)\le log_2\left(x^2+10xy+y^2\right)+x^2+10xy+y^2\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow x^2+10xy+y^2\ge2\left(x^2+5y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-10xy+9y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-9y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow y\le x\le9y\)
\(\Leftrightarrow1\le\frac{x}{y}\le9\)
\(P=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+9}{\frac{x}{y}+1}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[1;9\right]\\P=f\left(t\right)=\frac{t^2+t+9}{t+1}\end{matrix}\right.\)
\(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t-8}{\left(t+1\right)^2}=0\Rightarrow t=2\)
\(f\left(1\right)=\frac{11}{2}\) ; \(f\left(2\right)=5\) ; \(f\left(9\right)=\frac{99}{10}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\frac{99}{10}\\m=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow10M-m=94\)
Bài 1:
Ta có:
$\log_2\frac{x^2+5y^2}{x^2+10xy+y^2}+1+x^2-10xy+9y^2\leq 0$
$\Leftrightarrow \log_2(x^2+5y^2)-\log_2(x^2+10xy+y^2)+1+x^2-10xy+9y^2\leq 0$
$\Leftrightarrow \log_2(x^2+5y^2)+1+(2x^2+10y^2)-\log_2(x^2+10xy+y^2)-(x^2+10xy+y^2)\leq 0$
$\Leftrightarrow \log_2(2x^2+10y^2)+(2x^2+10y^2)\leq \log_2(x^2+10xy+y^2)+(x^2+10xy+y^2)(*)$
Xét hàm:
$f(t)=\log_2(t)+t$ với $t>0$ ta có: $f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$
Suy ra hàm $f(t)$ đồng biến trên $t\in (0;+\infty)$
Do đó $(*)\Rightarrow$ $2x^2+10y^2\leq x^2+10xy+y^2$
$\Leftrightarrow x^2-10xy+9y^2\leq 0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x-9y)\leq 0$
$\Leftrightarrow y\leq x\leq 9y\Leftrightarrow 1\leq \frac{x}{y}\leq 9$
Đặt $\frac{x}{y}=k$ thì $1\leq k\leq 9$
$P(k)=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}=\frac{k^2+k+9}{k+1}=k+\frac{9}{k+1}$
$P'(k)=1-\frac{9}{(k+1)^2}=0\Leftrightarrow k=2$
Lập BBT ta thấy $P_{\min}=P(2)=5; P_{\max}=P(9)=\frac{99}{10}$
$\Rightarrow M=\frac{99}{10}; m=5$
$\Rightarrow T=10.\frac{99}{10}-5=94$
Đáp án D.
2.
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+log_2\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=-log_2\left(y+2\right)+3+\frac{8}{y+2}\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=log_2\left(\frac{8}{y+2}\right)+\frac{8}{y+2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow2x+1=\frac{8}{y+2}\)
\(\Rightarrow2x=\frac{8}{y+2}-1=\frac{6-y}{y+2}\)
\(\Rightarrow P=2x+y=y+\frac{6-y}{y+2}=y+\frac{8}{y+2}-1\)
\(\Rightarrow P=y+2+\frac{8}{y+2}-3\ge2\sqrt{\frac{8\left(y+2\right)}{y+2}}-3=4\sqrt{2}-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=3\)
Bài 2: Mình nghĩ điều kiện sửa thành $a,b\in\mathbb{N}$ thôi thì đúng hơn.
ĐKĐB $\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]^{y+2}=8-(2x-2)(y+2)$
$\Leftrightarrow (y+2)\log_2[(2x+1)(y+2)]=8-(2x-2)(y+2)$
$\Leftrightarrow (y+2)[\log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=8$
$\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+\log_2(y+2)+(2x+1)-3=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+(2x+1)=\frac{8}{y+2}+3-\log_2(y+2)=\frac{8}{y+2}+\log_2(\frac{8}{y+2})(*)$
Xét hàm $f(t)=\log_2t+t$ với $t>0$
$f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$
Do đó hàm số đồng biến trên TXĐ
$\Rightarrow (*)$ xảy ra khi mà $2x+1=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow 8=(2x+1)(y+2)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$8=(2x+1)(y+2)\leq \left(\frac{2x+1+y+2}{2}\right)^2$
$\Rightarrow 2\sqrt{2}\leq \frac{2x+y+3}{2}$
$\Rightarrow 2x+y\geq 4\sqrt{2}-3$
Vậy $P_{\min}=4\sqrt{2}-3$
$\Rightarrow a=4; b=2; c=-3$
$\Rightarrow a+b+c=3$
Đáp án B.
