Question

\(CMR\left[n\left(n^2-2\right)^2-n^3\right]⋮10\)

Answer 1

n(n² - 2)² - n³

=n⁵ - 4n³ + 4n - n³

=n(n⁴ - 5n² + 4)

=n[(n⁴ - 4n²) - (n² - 4)]

=n[n²(n-2)(n+2) - (n-2)(n+2)]

=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)

Do n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có 1 thừa số chia hết cho 5 và ít nhất 2 thừa số chi hết cho 2. Từ đó => [n(n² - 2) - n³] ⋮ 10 với mọi n nguyên.

{Có thể giải thích đơn giản hơn là tích của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 120. Từ đó cũng suy ra nó chia hết cho 10}.