Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số thực dương ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\) (1)
Tương tự, ta có: \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) (2); \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\) (3).
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\) (đpcm)
CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\) Voi a,b,c>0
1. Cho a,b,c > 0. Cmr :
\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
2. Cho a,b,c > 0. Cmr :
\(\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\ge\frac{2}{3}\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. CMR: \(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{a+c-b}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=1.CMR:\(\frac{ab+c}{a+b}+\frac{bc+a}{b+c}+\frac{ac+b}{a+c}\)≥2
Cho các số thực dương thỏa man a + b + c = 1. CMR
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\ge\frac{9}{10}\)
Cho a, b, c > 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
CMR : \(\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\) ≥ \(\frac{a+b+c}{4}\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2}\). CMR:
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\)
Cho các số thực dương a,b,c. CMR
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\) ≥ \(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
Cho a,b,c > 0 và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\) ≥ \(\frac{1}{2}\). CMR
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\) ≥ \(\sqrt{3}\)
