Question

CMR : nếu \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\) thì a=b=c

Answer 1

Lời giải:

Ta có:1 điều luôn đúng:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-2ab+b^2\ge0\\b^2-2bc+c^2\ge0\\c^2-2ac+a^2\ge0\end{matrix}\right.\)

Tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

Cộng theo 3 vế:

\(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ac\)

Suy ra \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)