Question

cm: p=\(\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}\) là hợp số

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(5^{25}=a\). Khi đó:

\(p=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=\frac{(5^{25})^5-1}{5^{25}-1}=\frac{a^5-1}{a-1}=\frac{(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}{a-1}\)

\(=a^4+a^3+a^2+a+1\)

\(=(a^4+2a^2+1)+a^3+a-a^2\)

\(=(a^2+1)^2+a(a^2+1)-a^2\)

\(=(a^2+1)^2+6a(a^2+1)+9a^2-5a(a^2+1)-10a^2\)

\(=(a^2+1+3a)^2-5a(a^2+1+2a)\)

\(=(a^2+3a+1)^2-5a(a+1)^2=(a^2+3a+1)^2-5^{26}(a+1)^2\)

\(=[a^2+3a+1-5^{13}(a+1)][a^2+3a+1+5^{13}(a+1)]\)

Dễ thấy mỗi thừa số trên đều lớn hơn $2$, do đó $p$ là hợp số.