\(Ta\) \(có\) \(:\)
\(\dfrac{7n^2+1}{6}\) \(\in N\)
\(\Rightarrow7n^2+1\equiv0\)\(\left(mod6\right)\)
\(\Rightarrow7n^2\equiv7\left(mod6\right)\)
\(\Rightarrow n^2\equiv1\left(mod6\right)\)
\(\Rightarrow n^2-1\equiv0\left(mod6\right)\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\equiv0\left(mod6\right)\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)
+) Nếu n là số chẵn thì n - 1, n+1 là số lẻ ( vô lí vì \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\))\(\rightarrow\) loại
+)Nếu n là số lẻ \(\Rightarrow\dfrac{n}{2}\) là phân số tối giản
Vì (n -1)(n+1) \(⋮\) 6 \(\Rightarrow\) 1 trong 2 số chia hết cho 3
Mà n - 1, n , n +1 là 3 số tự nhiên liên tiếp ( \(n\in N\)) nên chỉ có duy nhất 1 số chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) \(n\) \(⋮̸\) \(3\)
\(\Rightarrow\dfrac{n}{3}\)là phân số tối giản
Vậy phân số \(\dfrac{7n^2+1}{6}\) nhận giá trị là các số tự nhiên thì các phân số \(\dfrac{n}{2}\) và \(\dfrac{n}{3}\) là các phân số tối giản \(\Rightarrowđpcm\)
