Question

Chứng minh rằng: 2n+3 và 4n+8 (n thuộc N) là hai số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)\) \(\left(d\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)

+) \(d=2\Leftrightarrow2n+3⋮2\Leftrightarrow3⋮2\) (vô lí)

\(\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2n+3;4n+8\) nguyên tố cùng nhau \(\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Đặt d = (2n + 3; 4n + 8). Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(4n+8\right)-2\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mặt khác d \(\ne\) 2 (Vì 2n + 3 là số lẻ và d là ước của 2n + 3) nên d = 1.

Vậy...