Biến đổi tương đương:
\(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\) (1)
\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(2b\right)^2+\left(2c\right)^2-2.a.2b+2.a.2c-2.2b.2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = 2(b - c)
Cho a,b,c>0. Chứng minh: \(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{a+b+c}{4}\)
cho a,b,c>0 chứng minh \(a^3+b^3+c^3\ge a^2\cdot\sqrt{bc}+b^2\cdot\sqrt{ac}+c^2\cdot\sqrt{ab}\)
cho a+b+a=10 chứng minh \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b}{ac}^2+\frac{c^2}{ab}\)
2. Cho a,b,c>0. Chứng minh: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c>0 chứng minh rằng:
1)
\(\frac{a^2}{b+c}\) +\(\frac{b^2}{c+a}+\) \(\frac{c^2}{a+c}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
a. Cho a^2 + b^2 + c^2 + 3= 2(a + b + c). Chứng minh rằng: a=b=c=1
b. Cho (a + b + c)^2 = 3(ab + ac + bc). Chứng minh rằng: a=b=c
c. Cho a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac +bc. Chứng minh rằng: a=b=c
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh: a) \(\frac{ab}{c}\) +\(\frac{bc}{a}\) \(\ge2b\)
b) \(\frac{ab}{c}\) + \(\frac{bc}{a}\) + \(\frac{ac}{b}\) \(\ge\) \(a+b+c\)
Cho \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
Chứng minh rằng:
a. Nếu a, b, c là cạnh của tam giác thì M>1
b. Nếu M = 1 thì 2 trong 3 phân thức của M = 1 và 1 phân thức còn lại = -1