Question

Chứng minh:

a. \(a^2+b^2+1>=ab+a+b\)

b.\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}>=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Answer 1

a) Biến đổi tương đương:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) (1)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

b) Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3+3+3}=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.