a) Có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{EBC}\\\widehat{ACD}=\widehat{DCB}\end{matrix}\right.\)(gt)
=> \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)
Xét \(\Delta ABE;\Delta ADC\) có :
\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)
\(AB=AC\) (do \(\Delta ABC\) cân)
\(\widehat{A}:chung\)
=> \(\Delta ABE=\Delta ADC\left(g.c.g\right)\)
=> \(BD=CE\) (2 góc tương ứng)
b) Xét \(\Delta BDC;\Delta CEB\) có :
\(\widehat{BDC}=\widehat{ECB}\) (cmt)
\(BC:chung\)
\(\widehat{BCD}=\widehat{CBE}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BDC=\Delta CEB\left(g.c.g\right)\)
=> \(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\) (2 góc tương ứng)
=> \(DB=EC\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta BID;\Delta CIE\) có :
\(\widehat{DBI}=\widehat{ECI}\) (cmt)
\(DB=EC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\left(do\widehat{BDC}=\widehat{CED}-cmt\right)\)
=> \(\Delta BID=\Delta CIE\left(g.c.g\right)\)
c) Xét \(\Delta AIB;\Delta AIC\) có :
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(AI:chung\)
\(BI=CI\left(do\Delta BID=\Delta CIE-cmt\right)\)
=> \(\Delta AIB=\Delta AIC\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc tương ứng)
=> AI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)
Mà hơn nữa : \(\Delta ABC\) cân tại A
=> AI đồng thời là đường trung trực của \(\Delta ABC\)
Hay : AI là đường trung trực của BC