Khá đơn giản!
Ta có: \(x+y+z=0\)
=> \(\left(x+y+z\right)^2=0\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0\) (1)
Thay (1) vào A ta được:
A = \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)
= \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)}\)
= \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = a.
Chứng minh: \(x\sqrt{\frac{\left(a+y^2\right)\left(a+z^2\right)}{a+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(a+z^2\right)\left(a+x^2\right)}{a+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(a+x^2\right)\left(a+y^2\right)}{a+z^2}}=2a\)
cho các số x,y,z thoả mãn \(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}=0\)
tính giá trị biểu thức A=\(\dfrac{x}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(z-x\right)^2}+\dfrac{z}{\left(x-y\right)^2}\)
cho x,y ,z là các số dương thỏa mãn:xy+yz+zx=2019
Tính gtrị bt\(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right).\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right).\left(x^2+2019\right)}{y^{2^{ }}+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right).\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.\)
Tính \(S=x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(1+z^2\right)+\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(1+x^2\right)+\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn (x-y)(x-z)=1; y ≠ z.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge4\)
Giả thiết x, y, z > 0 và xy + y2 + zx = a. Chứng minh rằng :
\(x\sqrt{\dfrac{\left(a+y^2\right)\left(a+z^2\right)}{a+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(a+z^2\right)\left(a+x^2\right)}{a+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(a+x^2\right)\left(a+y^2\right)}{a+z^2}}=2a\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1. Tìm min \(P=\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Cho x,y,z thoả mãn: \(x^2+y^2=\left(x+y-z\right)^2\).
Chứng minh rằng: \(\dfrac{x^2+\left(x-z\right)^2}{y^2+\left(y-z\right)^2}=\dfrac{x-z}{y-z}\)